Cours: Physique - Le circuit RL

BAC: Mathématiques

Cours: Physique

LE CIRCUIT RL

Il y a une proportionnalité entre $u_{B}$ et ${di\over bt}$:

$$u_{B} = {L} \times {di\over bt}$$ avec ${L}$ l’inductance de la bobine exprimée en henrys (${H}$).

Etablir l'équation différentielle:

Loi d'additivité des tensions:

$u_{R} + u_{B} = {E}$

Loi d'ohm:

$u_{R} = {R} \times {i}$

Relation courant tension:

$$u_{B} = {r} \times {i} + {L} \times {di\over bt}$$  

D'où:

$${R} \times {i} + {r} \times {i} + {L} \times {di\over bt} = E$$

$$({R} + {r}) \times {i} + {L} \times {di\over bt} = E$$

A l'instant initial, l'intensité est nulle.

En régime établit, il n’y a pas de ${L}$, donc $${di\over bt} = 0$$

D'où:  $${i} = {E\over R+r}$$

Résoudre l'équation différentielle:

On considère une bobine idéale, c'est à dire que l'on va négliger r.
Solution générale de la forme:

$${i(t)} = A + B{{e}^{-t\over r}}$$

On dérive ${i(t)}$:

$${di(t)\over dt} = B \times (-{1\over r}) \times {{e}^{-t\over r}}$$

On réinjecte:

$$(-{BL\over r}{{e}^{-t\over r}}) + R \times (A+B{{e}^{-t\over r}}) = E$$

$$B{{e}^{-t\over r}}(-{L\over r} + R) + RA = E$$

Par identification:

$$\begin{cases} RA = E \\ -{L\over r} + R = 0 \end{cases}$$

D'où:

$$\begin{cases} A = {E\over R} \\ r = {L\over R} \end{cases}$$

Analyse dimensionnelle de ${τ}$

$${τ} = {L\over R} \to [{τ}] = {[L]\over [R]}$$

$${u} = {L} \times {di\over bt} \to {[U]} = {[L}] \times {[I]\over [T]}$$ $${u} = {R} \times {i} \to {[U]} = {[R]} \times {[I]}$$

$${[L}] \times {[I]\over [T]} = {[R]} \times {[I]}$$  
D'où:

$${1\over [T]} = {[R]\over [L]}$$

Finalement,

$${[L]\over [R]} = {[τ]} = {[T]} = {T}$$

${τ}$ s'exprime en seconde

Energie emmagasinée dans la bobine:

$$E_{B} = {1\over 2}{L} \times i^2$$