Cours: Physique - Le circuit RL

BAC: Mathématiques

Cours: Physique

LE CIRCUIT RL

Il y a une proportionnalité entre \(u_{B}\) et \({di\over bt}\):

\[u_{B} = {L} \times {di\over bt}\] avec \({L}\) l’inductance de la bobine exprimée en henrys (\({H}\)).

Etablir l'équation différentielle:

Loi d'additivité des tensions:

\(u_{R} + u_{B} = {E}\)

Loi d'ohm:

\(u_{R} = {R} \times {i}\)

Relation courant tension:

\[u_{B} = {r} \times {i} + {L} \times {di\over bt}\] 

D'où:

\[{R} \times {i} + {r} \times {i} + {L} \times {di\over bt} = E\]

\[({R} + {r}) \times {i} + {L} \times {di\over bt} = E\]

A l'instant initial, l'intensité est nulle.

En régime établit, il n’y a pas de \({L}\), donc \[{di\over bt} = 0\]

D'où: \[{i} = {E\over R+r}\]

Résoudre l'équation différentielle:

On considère une bobine idéale, c'est à dire que l'on va négliger r.
Solution générale de la forme:

\[{i(t)} = A + B{{e}^{-t\over r}}\]

On dérive \({i(t)}\):

\[{di(t)\over dt} = B \times (-{1\over r}) \times {{e}^{-t\over r}}\]

On réinjecte:

\[(-{BL\over r}{{e}^{-t\over r}}) + R \times (A+B{{e}^{-t\over r}}) = E\]

\[B{{e}^{-t\over r}}(-{L\over r} + R) + RA = E\]

Par identification:

\begin{cases}
RA = E \\
-{L\over r} + R = 0
\end{cases}

D'où:

\begin{cases}
A = {E\over R} \\
r = {L\over R}
\end{cases}

Analyse dimensionnelle de \({τ}\)

\[{τ} = {L\over R} \to [{τ}] = {[L]\over [R]}\]

\[{u} = {L} \times {di\over bt} \to {[U]} = {[L}] \times {[I]\over [T]}\]\[{u} = {R} \times {i} \to {[U]} = {[R]} \times {[I]}\]

\[{[L}] \times {[I]\over [T]} = {[R]} \times {[I]}\] 
D'où:

\[{1\over [T]} = {[R]\over [L]}\]

Finalement,

\[{[L]\over [R]} = {[τ]} = {[T]} = {T}\]

\({τ}\) s'exprime en seconde

Energie emmagasinée dans la bobine:

\[E_{B} = {1\over 2}{L} \times i^2\]